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2017年4月21日 (金)

ワンコインランチ問題

こんなツイートを見たんですよ。

950円(500円玉1枚、100円玉4枚、50円玉1枚で計6枚)を払うと9円(5円玉1枚、1円玉4枚で計5枚)のおつりになって、差し引き941円。たしかにワンコインになります。

が、これは上限なのでしょうか。案の定ツッコミが。

ということで、ちと条件を考えてみました。

まず、ワンコインなので

  • 支払に紙幣は使わない。
  • 支払った硬貨の枚数-おつりの硬貨の枚数=1

という条件は必要ですね。あとは

  • 支払およびおつりは、使う紙幣または硬貨の数が最小になるように行なわれる。

という条件が必要になります。紙幣を使わないのに「使う紙幣または硬貨の数が最小に」と書いているのは、硬貨の数を最小にするだけなら、例えば500円玉2枚がOKになってしまうからです。

以上の条件設定の下では、941円が上限となります。

上限を求めるためには、「支払金額をなるべく大きく」「おつりの額をなるべく小さく」することが必要になります。また、支払った硬貨の種類とおつりの硬貨の種類はすべて異なります(そうでないとすると、単に支払った硬貨を返しているだけになる)。札を使わない前提で使える硬貨の上限は999円(500円玉1枚、100円玉4枚、50円玉1枚、10円玉4枚、5円玉1枚、1円玉4枚)であり、このとき硬貨は全部で15枚になります。ワンコインにするためにはこれを8枚と7枚に分け、8枚支払い、7枚おつりをもらうことになります。「支払金額をなるべく大きく」「おつりの額をなるべく小さく」なので、支払額は額面の大きい方から8枚の硬貨(500円玉1枚、100円玉4枚、50円玉1枚、10円玉2枚で970円)、おつりは額面の小さい方から7枚の硬貨(1円玉4枚、5円玉1枚、10円玉2枚で29円)。差し引き941円となります。10円玉2枚は支払とおつりとで相殺するので、結果的に無視されることになりますが。

さて、ここで条件を変えて

  • 支払およびおつりは、使う硬貨の数が最小になるように行なわれる。

としたらどうなるでしょうか。

この場合、上に書いたとおり、1000円を500円玉2枚で支払うことが可能になります。したがって「支払金額をなるべく大きく」するということは、「すべて500円玉で支払う」ということになります。一方、そのときにはおつりに500円玉は使えませんから、おつりの上限は499円。そのときの硬貨の枚数は14枚(100円玉4枚、50円玉1枚、10円玉4枚、5円玉1枚、1円玉4枚)ですから、ワンコインにするためには15枚の硬貨を支払うことになります。つまり500円×15枚で7,500円の支払い。おつりが499円なので、この場合の上限額は7,001円ということになります。7,001円のワンコインランチ…

荒唐無稽ついでに、対象とする硬貨を「日本円ベースのあらゆる硬貨」としてみたらどうかるのかを考えてみました。Wikipediaの「日本の記念貨幣」には、記念貨幣の額面には以下のものが記載されています。

  • 100円
  • 500円
  • 1000円
  • 5000円
  • 1万円
  • 5万円
  • 10万円

さああとは先ほどと同じ理屈で「支払金額をなるべく大きく」「おつりの額をなるべく小さく」してみると、答えは2,500,001円となりました(支払:10万円硬貨26枚、おつり:99,999円)。

うるさいわ(笑)

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